Rosić je rođen 15. novembra 1996. u Užicu. Golmanski put počeo je u Jedinstvu, a potom je branio za Mladost iz Lučana i Kolubaru. Godine 2019. odlazi u Španiju i postaje član Almerije. Iskustvo je sticao na pozajmicama u Selti B, Fuenlabradi i Albaseteu, gde je nastupao u drugom rangu španskog fudbala.
Po povratku u Srbiju 2022. godine potpisao je za Radnički iz Niša, za koji je upisao 36 prvenstvenih nastupa. U januaru 2024. stigao je u Vojvodinu, gde je postao standardni čuvar mreže i jedan od oslonaca ekipe.
За предстојеће утакмице против Немачке у Минхену и Холандије у Ајндховену селектор репрезентације Србије Вељко Пауновић накнадно је упутио позив Драгану Росићу, голману Војводине. 🇷🇸 pic.twitter.com/MP9kncOkdM — Fudbalski savez Srbije | FA of Serbia (@FSSrbije) September 28, 2026
Rosić je nastupao i za mlađe selekcije Srbije – za U20 je debitovao 2017, dok je za U21 reprezentaciju zabeležio tri nastupa. Za A reprezentaciju Srbije debitovao je 25. januara 2023. u prijateljskoj utakmici protiv SAD-a, kada je ušao u drugom poluvremenu. Srbija je slavila tada sa 2:1 i to je za sada njegov jedini nastup za seniorsku reprezentaciju.
Reprezentacija Srbije u sredu 30. oktobra u 15.00 putuje u Minhen. Pre toga imaće trenig u SC FSS-a u Staroj Pazov, a utakmica s “pancerima” je dan kasnije od 20.45 “Alijanc Areni”.
